Spatial Analysis and Synthesis

การวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์

พัฒนา ราชวงศ์ อาศรมภูมิวิทยาศาสตร์

สาขาวิชาภูมิศาสตร์ มหาวิทยาลัยนเรศวร

อดีตนายกสมาคมภูมิศาสตร์แห่งประเทศไทย

 

หลักการทางสถิติที่ใช้สำหรับการวิเคราะห์ความสัมพันธ์เชิงพื้นที่มี 2 รูปแบบ คือ การวิเคราะห์ถดถอยทั่วไป (Global Regression Analysis) ซึ่งได้ทำการทบทวนจากพัฒนา ราชวงศ์ (2542) เกตุจันทร์ จำปาไชยศรี (2549) และวิรัชช พานิชวงศ์ (2549) การวิเคราะห์การถดถอยท้องถิ่น (Local Regression Analysis) หรือ การวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์ (Geographically Weighted Regression) ที่เป็นการวิเคราะห์ความสัมพันธ์ที่แปรเปลี่ยนไปตามพื้นที่ต่างๆ ของ Fotheringham, Brundon and Charton (2002) และวิธีการวิเคราะห์และนำเสนอผลการวิเคราะห์การถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักด้วยภูมิศาสตร์ในโปรแกรมสำเร็จรูป ArcGIS 9.3 ของ ESRI

 

การวิเคราะห์การถดถอยพหุคูณเชิงเส้น

 

            การวิเคราะห์การถดถอยเชิงเส้นเป็นวิธีการทางสถิติที่ใช้สำหรับแสดงความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร โดยตัวแปรหนึ่งในระบบความสัมพันธ์ เรียกว่าตัวแปรตาม หรือตัวแปรตอบสนอง (Dependent or Response Variable) กับตัวแปรอีกกลุ่มหนึ่ง เรียกว่าตัวแปรอิสระ หรือตัวแปรทำนาย (Independent or Predictor Variable) กำหนดสัญลักษณ์แทนตัวแปรตามไว้ให้เป็น  ส่วนตัวแปรอิสระเป็น  ซึ่งอาจประกอบด้วยตัวแปรอิสระหลายๆ ตัวก็ได้ บนความสัมพันธ์นี้มีจุดมุ่งหมาย 3 ประการ คือ       1) เพื่อสร้างฟังก์ชั่นการอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรอิสระและตัวแปรตาม 2) เพื่อใช้ฟังก์ชั่นทำนายปรากฏการณ์ในอนาคต และ 3) เพื่อประยุกต์ใช้ในการควบคุมการเกิดปรากฎการณ์ในอนาคต  ความสัมพันธ์ของตัวแปรที่แสดงอิทธิพลของตัวแปรหนึ่งตัวต่ออีกตัวหนึ่งนั้น ถือเป็นพื้นฐานในการวิเคราะห์การถดถอยที่เรียกว่า การถดถอยอย่างง่าย อย่างไรก็ดี ปรากฏการณ์ส่วนใหญ่มักจะได้รับอิทธิพลจากปัจจัยหรือตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัวขึ้นไป จึงจะต้องใช้การวิเคราะห์ถดถอยพหุคูณซึ่ง ตัวแปรตาม  จะได้รับอิทธิพลให้เกิดการแปรผันด้วยตัวแปรอิสระสองตัวหรือมากกว่าสองตัว ในการวิเคราะห์จะต้องทำการขยายแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่เคยใช้กับการวิเคราะห์การถดถอยอย่างง่ายด้วยการเพิ่มองค์ประกอบต่างๆ เข้าไป ดังนี้

           

            E (Y_i)    = B₀ + B₁X_i1 +B₂X_i2+.... + B_kX_ik

                                                = B₀ + ∑B_iX_ij

           

            เมื่อ       k: จำนวนตัวแปรอิสระ

                        i: ลำดับของตัวแปรอิสระ

ทั้งนี้ในการถดถอยอย่างง่ายมี k = 1 การสร้างสมการที่มี k = 2 ก่อน เพื่อให้เกิดความเข้าใจเบื้องต้น ดังนี้

 

            E (Y_i)    = B₀ + B₁X_i1 + B₂X_i2

           

            การแสดงความสัมพันธ์ของตัวแปรทั้งสามรูปในรูปกราฟทำให้เกิดความกระจ่างได้ในระดับหนึ่ง ด้วยการสร้างความสัมพันธ์ใน n มิติ (n-Dimentional Hypersurface) ทั้งนี้ได้จากการคาดการณ์อาจมากหรือน้อยกว่าค่าที่ได้จากการสำรวจจริง ตรงนี้คือความผิดพลาดที่เกิดขึ้นจากการทำนาย (Error Term) จึงเขียนสมการใหม่ให้สมบูรณ์ได้ว่า

         

                Y_i                      = B₀ + B₁X_i1 + B₂X_i2 +E_i

           

            ระนาบที่เหมาะสมที่แสดงการกระจายของค่าต่างๆ นั้นวิเคราะห์ได้จากเกณฑ์ วิธีรากกำลังสองน้อยที่สุด การประมาณค่าตัวแทนสามตัวจากตัวอย่าง คือ B₀, B₁ และ B₂ จะต้องทำให้ได้ค่าผลรวมกำลังสองของความแปรผันระหว่าง  ที่สำรวจได้ กับ  ที่ได้จากการคาดการณ์น้อยที่สุด แสดงได้ดังนี้

 

            S          = ∑ (Y_i - _i)²

                        = ∑ (Y_i - B₀ X_i0 - B₁ X_i1 - B₂ X_i2)²

                        = ∑ e_i²

 

เมื่อ B₀, B₁ และ B₂ เป็นค่าประมาณของ B₀, B₁ และ B₂ ทั้งนี้ในการประมาณค่าจะแทนด้วย b₀, b₁ และ b₂ เพราะเป็นการประมาณค่าของกลุ่มตัวอย่าง ซึ่งวิธีการวิธีรากกำลังสองน้อยที่สุด จะทำให้ได้สมการปกติสำหรับตัวแปรที่มีความสัมพันธ์กันสามตัว คือ

         

            B_0n + b₁∑X₁ + b₂∑X₂                            = ∑Y

            B₀∑X₁ + b₁∑X₁₂ + b₂∑X₂X₂                   = ∑YX₁

            B₀∑X₁ + b₁∑X₁X₂ + b₂∑X₂₂                   = ∑YX₂

 

การอธิบายให้กระจ่างอย่างง่ายๆ สามารถใช้ความเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ยของตัวแปรทดแทนได้ โดยแทน Xi₁ สำหรับ (Xi₁ - X₁) และแทน Xi₂ สำหรับ (Xi₂ -X₂) ซึ่งจะทำให้สามารถลดสมการลงเหลือเพียงสองสมการ คือ

           

                B₀         = ∑Y = Y

                            n

            b₁ ∑ x₁² + b₂ ∑ x₁x₂ = ∑x₁Y

            b₁ ∑ x₁x₂ + b₂ ∑ x₂² = ∑x₂Y

           

            ความแตกต่างที่สำคัญประการหนึ่งของการวิเคราะห์การถดถอยพหุคูณกับการถดถอยอย่างง่าย คือ การมีสัมประสิทธิ์ที่มากกว่ากัน ซึ่งจะมีผลต่อความยุ่งยากในการวิเคราะห์ ความสัมพันธ์ระหว่างสัมประสิทธิ์  กับความชันของระนาบการถดถอยมีความสำคัญอย่างมากต่อการตีความสัมประสิทธิ์  

           

                Y          = b₀ + b_Y1.2X₁ + b_Y2.1X₂ + e

 

จุดคั่นระหว่างตัวเลขที่ห้อยระหว่างสัมประสิทธิ์นั้น เป็นตัวเลขแสดงลำดับของตัวแปร ซึ่งจะระบุได้ว่าตัวเลขด้านซ้ายของจุดแสดงถึง การมีความสัมพันธ์กับตัวแปรตามที่ออกมาในรูปสัมประสิทธิ์ส่วนตัวเลขที่อยู่ทางด้านขวาบ่งบอกได้ว่าเป็นตัวแปรที่มีอิทธิพลต่อตัวแปรตาม แต่ไม่ใช่ความสัมพันธ์โดยตรง ดังนั้นจึงแทน b₁ ด้วย b_Y1.2 นั่นคือสัมประสิทธิ์  ที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง  กับ X₁ แต่ค่านี้ยังได้รับอิทธิพลจาก X₂ ด้วย สัมประสิทธิ์  ในสมการที่เรียกว่า สัมประสิทธิ์การถดถอยส่วน หรือ สัมประสิทธิ์การถดถอยสุทธิ ลักษณะเช่นนี้เป็นการแสดงความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรตามกับตัวแปรอิสระแต่ละตัว โดยการให้ตัวแปรอิสระอื่นๆ เป็นตัวคงที่หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ค่า  เป็นการแสดงอัตราการเปลี่ยนแปลงของ  เมื่อ X₁ มีการเปลี่ยนแปลง โดยให้ตัวแปรอิสระอื่นๆ คงที่นั่นเอง

            จะเห็นได้ถึงความสัมพันธ์ที่แสดงในรูปสัมประสิทธิ์  ในการถดถอยพหุคูณตัวอย่างที่ดีที่สุดในการแสดงสัมประสิทธิ์การถดถอยส่วน หรือ  นี้ น่าจะได้จากการพิจารณาความสัมพันธ์ต่อไปนี้

         

            Y          = b₀ + B₁X₁

 

สมการที่ได้นี้แสดงว่า เกิดความสัมพันธ์กันระหว่างตัวแปรอิสระสองตัวคือ X₂ กับ X₁ จากนั้นจึงต้องทำการพิจารณาการถดถอยของตัวแปรตาม Y -  ที่จะถดถอย ค่าความผิดพลาด ของตัวแปรใหม่ออกมา

         

            Y -      = b₀ + b₁(X₂ - X₂)

 

แต่เนื่องจากเราได้ถดถอย ค่าความผิดพลาด ทั้งสองกลุ่มด้วยค่าเฉลี่ยศูนย์ เส้นตรงการถดถอยจะผ่านจุดกำเนิดของกราฟ และ - Intercept เท่ากับศูนย์ ดังนั้น b₀ จึงถูกขจัดออกจากสมการ

            แม้ว่าค่า  จะแสดงความสัมพันธ์ของตัวแปรอิสระแต่ละตัวกับตัวแปรตาม แต่ยังไม่ได้แสดงออกถึงความสำคัญของการมีความสัมพันธ์ที่อธิบายความแปรผันของตัวแปรตาม ดังนั้นจึงควรพิจารณาสัมประสิทธิ์การถดถอยส่วนมาตรฐาน หรือสัมประสิทธิ์เบต้า

 

            B_Yj.k      = (S_j/S_Y)b_Yj.k

 

เมื่อสัมประสิทธิ์เบต้าเป็นผลคูณของสัมประสิทธิ์การถดถอยส่วน กับอัตราส่วนระหว่างความเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรอิสระนั้นๆ กับตัวแปรตาม

            สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์หลายส่วน (R) มีลักษณะเชิงปฏิบัติการ หรือการจัดการเช่นเดียวกับสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์อย่างง่าย r ในการวิเคราะห์ความแปรปรวนร่วม ทั้งนี้วัดค่าได้จากระนาบ วิธีรากกำลังสองน้อยที่สุดที่แสดงการกระจายของข้อมูล วิธีการตีความสัมประสิทธิ์นี้แบบง่ายที่สุดจะต้องพิจารณาในลักษณะ zero-order หรือความสัมพันธ์ในรูปสหสัมพันธ์ระหว่างค่าของตัวแปรตามที่สำรวจได้กับค่าของตัวแปรที่ได้จากการคาดการณ์ในระนาบ วิธีรากกำลังสองน้อยที่สุด หมายถึงว่าเป็นความสัมพันธ์ระหว่าง  กับ  หากจุดที่ได้จากการสำรวจทุกจุดอยู่ในระนาบการถดถอยค่าจากการสำรวจกับค่าจากการคาดการณ์จะซ้อนทับกันสนิท และ การถดถอยพหุคูณจะมีความเป็นกลุ่มก้อนเดียวกัน เช่น ในการถดถอยอย่างง่ายหากมีการกระจายของข้อมูลมากๆ นั่นแสดงว่า มีสหสัมพันธ์กันระหว่างค่าจากการสำรวจและค่าจากการคาดการณ์ นอกจากนี้สหสัมพันธ์หลายส่วนยังมีข้อแตกต่างกับสหสัมพันธ์อย่างง่าย โดยที่สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์อย่างง่ายมีการแสดงทิศทางของความสัมพันธ์เป็นสองทางด้วยเครื่องหมายบวก-ลบ แต่สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์หลายส่วนจะมีค่าระหว่าง 0 ถึง 1.0 แต่อย่างไรก็ดี R² กับ r² มีลักษณะเหมือนกัน

            สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์หลายส่วนสามารถจัดการได้จากค่า  แม้ว่าจะเป็นเรื่องยุ่งยากต่อการคำนวณด้วยเครื่องคิดเลขธรรมดา สำหรับตัวแปรสามตัวที่มีความสัมพันธ์กันนั้นสามารถแสดงการคำนวณได้ดังนี้

           

            R_Y12      = Ör²_y1 + r²_y2.1(1 - r²_y1)

หรือ        R²_Y12     = r²_y1 + r²_y2.1(1 - r²_y1)

 

ซึ่งอธิบายได้ว่า สัดส่วนของ  ถูกอธิบายได้โดย X₁ และ X₂ เท่ากับสัดส่วนของผลรวมที่ถูกอธิบายโดย X₁ กับผลคูณของศักยภาพสัดส่วนที่ถูกอธิบายโดย X₂ กับสัดส่วนที่ไม่ถูกอธิบายโดย X₁ ทั้งนี้ r_Y2.1 เป็นสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ส่วนของ  กับ X₂ เมื่อให้ X₁ หากสหสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรอิสระด้วยกันมีค่าเป็นศูนย์ จะได้ว่า

 

            R²_Y12     = r²_y1 + r²_y2

 

            มีข้อสังเกตที่สำคัญหลายประการในการพิจารณา  ประการแรกคือ  จะไม่มีค่าน้อยกว่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์อย่างง่ายแต่ละตัว เพราะว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะอธิบายได้น้อยกว่า ด้วยการเพิ่มตัวแปรเข้าไป ประการที่สอง การเพิ่มขึ้นของค่า  จะเป็นส่วนหนึ่งที่ขึ้นอยู่กับระดับการมีความสัมพันธ์ร่วมกันของตัวแปรอิสระ หากตัวแปรอิสระมีสหสัมพันธ์ต่อกันสูง Multiple-R จะไม่เพิ่มขึ้นมากเมื่อเพิ่มตัวแปรเข้าไป ในทางตรงกันข้าม ตัวแปรอิสระที่มีความสัมพันธ์กันน้อยจะมีค่า  เพิ่มขึ้น และประการสุดท้าย ผลลัพธ์จากการคำนวณด้วยโปรแกรมสำเร็จรูป จะได้ค่า Adjusted-R² ออกมาด้วย ซึ่งค่านี้ถือว่าเป็น R² ที่ถูกปรับปรุงสำหรับจำนวนตัวแปรอิสระในสมการและขนาดของกลุ่มตัวอย่าง เพื่อให้เกิดความเหมาะสม โดยมีสมการในการปรับปรุงดังนี้

         

                Adjusted-R²      = R² - (k - 1) (1 - R²)

                                             (n - k)

            เมื่อ       k: จำนวนตัวแปรอิสระในสมการ

                        n: ขนาดของกลุ่มตัวอย่าง

 

ทั้งนี้ขนาดของกลุ่มตัวอย่างที่แตกต่างกันจะส่งผลต่อการเปลี่ยนแปลงค่านี้ด้วย โดยกลุ่มตัวอย่างที่มีขนาดเล็กแต่มีจำนวนตัวแปรอิสระมาก จะให้ค่า Adjusted-R² ลดลงเมื่อเพิ่มตัวแปรเข้าไปในสมการ

            การสร้างฟังก์ชั่นการถดถอยพหุคูณ นั้นจะต้องมีการทดสอบนัยสำคัญของทั้งสมการและของสัมประสิทธิ์ส่วน

            1) การทดสอบนัยสำคัญของสมการรวม การทดสอบนัยสำคัญของสมการถดถอยพหุคูณ ที่ถูกสร้างขึ้นมานั้น สามารถใช้อัตราส่วนของความแปรปรวนที่ถูกอธิบายกับความแปรปรวนที่ไม่ถูกอธิบายได้เช่นเดียวกับการทดสอบในการถดถอยอย่าง่าย สัดส่วนที่ว่านี้คือ F-statistic ที่อ้างอิงมาจากการวิเคราะห์ความแปรปรวน (ANOVA)

 

            F          = MSR/MSE

            F          = R²    *  n - k - 1

                         1 - R²          k

            เมื่อ       n: ขนาดของกลุ่มตัวอย่าง

                        k: จำนวนตัวแปรอิสระ

 

            2) การทดสอบสัมประสิทธิ์การถดถอยรายตัวในโครงสร้างของ สมการถดถอยอย่างง่าย และสหสัมพันธ์ทำให้สามารถทดสอบนัยสำคัญของค่าความชัน 1 ได้ ทั้งนี้ใช้หลักเกณฑ์คล้ายกับการทดสอบนัยสำคัญของสัมประสิทธิ์ถดถอยส่วน แต่การคำนวณค่อนข้างยุ่งยากรวมไปถึงการตีความด้วย โดยสัมประสิทธิ์ส่วนจะมีค่าความผิดพลาดมาตรฐาน (Standard Error) ปรากฏออกมา และในกรณีที่คำนวณด้วยโปรแกรมสำเร็จรูป SPSS นั้น F-statistic คือ

 

            F          = (b_j/S_bj)²

            เมื่อ S_bj: ความผิดพลาดมาตรฐานของสัมประสิทธิ์หรือในโปรแกรม SAS จะพิจารณา t-statistic

            t           = (b_j/S_bj)

จากโครงสร้างทั้งสองของ  และ  จะเห็นว่า  เป็นค่ากำลังสองของ  ในการทดสอบเปรียบเทียบกับค่าทางสถิติ F_{1-µ, 1, n-k-1} และ t_{1-µ, n-k-1} โดย

 

          S_bj        = ÖC_jjS²_E

เมื่อ       C_jj: เมทริกซ์ทะแยงของ X’X

            S²_E: MSE หรือความแปรปรวนของความผิดพลาด

สำหรับกรณีที่มีตัวแปรอิสระสองตัวในสมการ คำนวณได้จาก

           

            S_b1.2      =                  S_E

                              X²_i1 (∑X_i1X_i2)²/∑X_2i²

           

            เมื่อ X₁ และ X₂: ตัวแปรอิสระสองตัว

            S_b1.2: ความผิดพลาดมาตรฐานของ  ที่อธิบายโดย X₁ เมื่อ X₂ คงที่

            อย่างไรก็ดีเราควรพิจารณาสมมติฐานในการทดสอบทั้งการทดสอบโดย  และ  ซึ่งก็สามารถเขียนสมมติฐานได้หลายวิธี เช่น

 

            H₀: B_j = 0 หรือ H₀: R²-change = 0

            H₁: B_j ≠ 0 หรือ H₁: R²-change ≠ 0

 

 

การวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักด้วยภูมิศาสตร์

 

            จากสมการแบบจำลองถดถอยทั่วไป ดังได้กล่าวมาแล้ว

 

                                                                             

 

นำมาพิจารณาในรูปแบบของ GWR เพื่อแสดงคุณลักษณะของท้องถิ่นเข้าไป โดยเขียนเป็นสมการใหม่ได้

 

                                                          

 

            เมื่อ  แทนค่าพิกัดของจุด  แต่ละจุดบนพื้นที่ และ  เป็นค่าแสดงอิทธิพลของตัวแปรนั้นบนจุด  โดยพื้นที่ที่ว่านี้เป็นพื้นที่ที่มีค่าต่างๆ ของพารามิเตอร์ต่อเนื่องกันไปบนพื้นผิว และสามารถวัดค่าบนพื้นผิวนี้ ณ จุดต่างๆ ได้อย่างชัดเจน สมการวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักด้วยภูมิศาสตร์ จะพิจารณาถึงความแปรปรวนบนพื้นที่ในรูปของความสัมพันธ์ที่ปรากฎอยู่ และการวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักด้วยภูมิศาสตร์ ก็สามารถที่จะวัดความสัมพันธ์นั้นได้

            แต่ว่าในทางปฏิบัติก็อาจจะพบปัญหาของการกำหนดค่าต่างๆ บนสมการถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์ เนื่องจากว่ามีตัวแปรที่ไม่รู้ค่ามากกว่าตัวแปรที่สามารถวัดค่าได้ Fotheringham, Brunsdon and Charton (2002) จึงได้อ้างอิงถึงการเขียนสมการตามแบบจำลองทางสถิติของ Rosenberg (1973), Spjotvoll (1977), Hastie and Tibshirani (1990) and Loader (1999). โดยได้ยืมวิธีการของสองคนหลังมาใช้ โดยไม่สมมุติให้สัมประสิทธิ์ต่างๆ เกิดขึ้นแบบสุ่ม แต่กำหนดให้สัมประสิทธิ์เหล่านั้นเกิดขึ้นแบบเกี่ยวพันกับตัวแปรอื่นๆ ในบางกรณี ณ ตำแหน่งที่ตั้งบนพื้นที่ที่กำหนดขึ้นอย่างชัดเจน วิธีการโดยทั่วไปกำหนดให้สมการต่างๆ มีความลำเอียงน้อยนิดเท่านั้น แม้ว่าในทางปฏิบัติการประมาณค่าสัมประสิทธิ์ท้องถิ่นที่จะไม่เกิดความลำเอียงเป็นไปได้น้อยก็ตาม

            ในกระบวนการกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ต่างๆ ของ การวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักด้วยภูมิศาสตร์ ทำให้เห็นความสัมพันธ์ระหว่างความลำเอียงกับความผิดพลาดมาตรฐาน การประมาณค่าพารามิเตอร์แต่ละตัวที่ได้แสดงค่าระดับบางอย่างของคุณสมบัติเชิงพื้นที่ที่เหมือนกันหรือแตกต่างกัน ซึ่งค่าประมาณการที่ได้ที่เข้าใกล้ 1 จะแสดงความสัมพันธ์ทั้งด้านความเข้มข้นและทิศทาง ดังนั้นเมื่อประมาณค่าพารามิเตอร์ตัวใดตัวหนึ่ง ณ ตำแหน่ง i ก็หมายถึงการที่เราใช้สมการข้างบน เพื่อประมาณค่าในย่านบริเวณรอบๆ จุด i ซึ่งก็คือการที่นำเอาสมการถดถอยทั่วไปมาใช้ในการคำนวณ โดยพิจารณาค่าต่างๆ ของจุดรอบๆ จุด i นั้นด้วยค่า  ได้รับการประมาณการสำหรับ i โดยใช้ค่าของจุด i ที่อยู่รอบๆ เข้ามาพิจารณาการประมาณการจัดการดังกล่าวจะมีค่าความลำเอียงเกิดขึ้นบ้าง เนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์ที่ได้จากสมการถดถอยถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์ ไปแสดงผลต่อจุดอื่นๆ อย่างไรก็ตามถ้าหากว่าจำนวนตัวอย่างที่เก็บมามีขนาดใหญ่พอและสามารถแก้ความลำเอียงที่เกิดขึ้นได้ ทั้งนี้ขนาดของข้อมูลที่นำมาใช้ในการปรับแก้ที่มีจำนวนมากพอจะทำให้ค่าผิดพลาดมาตรฐานมีค่าน้อย แต่อาจเกิดความลำเอียงมากขึ้น เพื่อลดผลกระทบที่ว่านี้จึงจำเป็นที่ต้องมีการปรับวิธีการด้วยการชั่งน้ำหนักหาอิทธิพลที่แท้จริงของจุดที่อยู่รอบๆ จุด

 

ภาพ 1  A Spatial Kernel

ภาพ 2 GWR with Fixed Spatial Kernels

ภาพ 3 GWR with Adaptive Spatial Kernels

ภาพ 4 ตัวอย่างแสดงผลลัพธ์การวิเคราะห์ถดถอยถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์

           

            การคำนวณในฟังก์ชั่นถ่วงน้ำหนักเชิงพื้นที่

 

            ประเด็นสำคัญอย่างหนึ่งของการวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์ที่เกี่ยวกับการประมาณค่าพารามิเตอร์ขึ้นอยู่กับฟังก์ชั่นการถ่วงน้ำหนักหรือการเลือก kernel ตัวอย่างเช่นในสมการที่  มีค่ามากสำหรับแบบจำลองการวิเคราะห์ถดถอยแบบรากกำลังสองน้อยที่สุด  และเมื่อ  เป็นระยะทางที่มากที่สุดระหว่างจุดในระบบ แบบจำลองทั้งสองนี้แสดงลักษณะของพื้นที่ที่ไม่เหมือนกัน เช่นเดียวกับสมการที่ค่า  มีค่าเข้าใกล้อนันต์ ค่าน้ำหนักจะเข้าใกล้ 1 สำหรับจุดทุกคู่ที่ค่าพารามิเตอร์ที่ประมาณได้เป็นแบบสม่ำเสมอ (Uniform) อันนี้การวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักด้วยภูมิศาสตร์ กับ การวิเคราะห์ถดถอยแบบรากกำลังสองน้อยที่สุดก็จะแสดงลักษณะที่คล้ายกัน ในทางตรงข้ามที่ช่วงกว้าง มีค่าน้อยพารามิเตอร์ที่จะคำนวณก็จะขึ้นอยู่กับตัวอย่างที่ใกล้กับ  มากยิ่งขึ้น และจะทำให้มีค่าความแปรปรวนเพิ่มขึ้น ปัญหาที่จะต้องตัดสินใจก็คือ ทำอย่างไรจึงจะเลือก band widths หรือฟังก์ชั่นที่เหมาะสม ในการวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักด้วยภูมิศาสตร์ทั้งนี้มีเงื่อนไขที่ใช้สำหรับเลือกช่วงกว้างอยู่หลายประการ พิจารณาจากการเลือก  ในสมการ ทางที่เป็นไปได้อย่างหนึ่ง คือจะต้องเลือก  ตามเงื่อนไขของค่ากำลังสองน้อยที่สุด โดยจะต้องทำให้ได้ค่าน้อยที่สุด

เมื่อ เป็นค่าที่พอเหมาะของ y_i ที่ใช้ช่วงกว้างอันหนึ่งของ  เพื่อที่จะให้ได้ค่าที่พอดีของ y_i จึงจำเป็นจะต้องประมาณค่า B_k(U_i,V_i)s ในแต่ละจุดข้อมูลและรวมค่าเหล่านี้เข้ากับค่า  บนจุดเหล่านี้ อย่างไรก็ตามยังมีปัญหาในส่วนของกระบวนการเพิ่มเติมอีก สมมุติว่า  มีค่าน้อย ดังนั้นการถ่วงน้ำหนักของจุดทุกจุดยกเว้นที่จุด i ซึ่งเป็นตัวของมันเอง ดังนั้นค่าที่พอดี ณ จุดตัวอย่างจะมีค่าเข้าใกล้ที่แท้จริงตามสมการข้างบนจึงกลายเป็นศูนย์ภายใต้เงื่อนไขที่เหมาะสมอย่างหนึ่งของค่า  จะเข้าใกล้ศูนย์ จะไม่เกิดประโยชน์เท่าใดนัก เพราะว่าประการแรกค่าพารามิเตอร์ต่างๆ ของแบบจำลองใดแบบจำลองหนึ่งจะไม่ได้ถูกกำหนดตามข้อจำกัดนี้ และประการที่สองการประมาณค่าจะกวัดแกว่งไปมากบนพื้นที่ เนื่องจากว่าค่าที่เหมาะสมจะแปรเปลี่ยนไปตามพื้นที่แต่ละแห่ง

            ทางแก้ปัญหานี้อย่างหนึ่งคือ การใช้วิธี Cross-Validation (CV) ที่เสนอแนะโดย Cleveland (1979) เสนอแนะให้การวิเคราะห์ถดถอยท้องถิ่นและการประมาณความหนาแน่นของ Kernel ที่เสนอโดย Bownan (1984) ค่าที่ว่านี้หาได้จากสมการ

เมื่อใช้ เป็นค่าที่เหมาะสมของ y_i ของข้อมูลที่จุด i ด้วยวิธีการนี้มีคุณสมบัติที่ดีในการตรวจสอบผลกระทบที่เกิดขึ้นโดยรอบ เนื่องจากว่า  มีค่าน้อยมากแบบจำลองก็จะคำนวณค่าเฉพาะจุดที่อยู่ใกล้ๆ  โดยไม่รวมจุด  การแสดงค่า CV ลงในกราฟร่วมกับค่าพารามิเตอร์ที่ต้องการแสดงบนฟังก์ชั่นถ่วงน้ำหนักจะเป็นแนวทางในการเลือกค่าที่เหมาะสมของพารามิเตอร์ได้ ถ้าหากว่าเราต้องการให้การจัดการนี้เป็นไปโดยอัตโนมัติ ค่า CV อาจจะมีค่ามากสุด และมีการใช้เทคนิคที่เหมาะสมอย่างเช่น Golden-Section (Greig 1980)

            วิธีการทางสถิติสำหรับการคำนวณค่า CV แบบง่ายๆ ที่รู้จักกันอย่างกว้างขวางคือ GCV (Generalized Cross-Validation) ที่  Loader (1999) ได้อธิบายไว้ และ Craven and Wahba (1979) ได้ใช้เทคนิคการนำเสนอให้เรียบแบบ Spline ค่า GCV หาได้ดังสมการ

 

     

เมื่อ V₁ เป็นจำนวนพารามิเตอร์ในแบบจำลอง

            อีกวิธีหนึ่งเป็นการใช้ช่วงกว้างเพื่อจัดการให้ได้สมการที่เหมาะสม และใช้องศาอิสระให้ได้ค่า AIC (Akaike Information Criterion) โดยค่า AIC ในแบบจำลองการวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักด้วยภูมิศาสตร์หาได้จากสมการต่อไปนี้

 

เมื่อ n เป็นจำนวนตัวอย่าง  เป็นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของความผิดพลาด และ tr(S) เป็นการจัดการในเมทริกซ์ ที่เป็นฟังก์ชั่นของช่วงกว้าง ค่า AIC จะมีประโยชน์มากกว่าค่า CV เพราะสามารถใช้ในแบบจำลองการวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์ที่ข้อมูลมีการกระจายแบบปัวซอง แบบ log และแบบเส้นตรง และยังถูกใช้เพื่อประเมินว่าแบบจำลองการวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์ นั้นมีความเหมาะสมต่อการอธิบายปรากฏการณ์มากกว่าแบบจำลองถดถอยทั่วไป เงื่อนไขในการเลือกช่วงกว้างอีกอย่างหนึ่งสำหรับการวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์ คือ BIC (Bayesiam Information Criterion) ที่นำเสนอโดย Nakaya (2002) บางครั้งอาจเรียกว่า SIC (Schwartz Information Criterion) เพราะ Schwartz (1978) เป็นผู้นำเสนอ    

 เมื่อ L เป็นค่า likelihood ในแบบจำลอง k เป็นจำนวนพารามิเตอร์ และ n เป็นขนาดกลุ่มตัวอย่าง

การวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์ในฐานะแบบจำลองทางสถิติ

 

            ในส่วนก่อนหน้านี้ได้ให้ภาพของการวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์ ที่เป็นสถิติอ้างอิงบางอย่างไว้แล้ว ต่อไปนี้จึงเป็นการกล่าวถึงรายละเอียดในฐานะที่การวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์ เป็นแบบจำลองทางสถิติอย่างหนึ่งมากกว่าที่จะเป็นเครื่องมือค้นหาข้อมูล สมมุติว่าเรามีกลุ่มตัวอย่างสำหรับ ,.....,  และ ,....,  เป็นตัวแปรเพื่อการอธิบายและตัวแปรตาม  ข้อมูลเหล่านี้จะถูกนำไปใช้ในแบบอย่างมาตรฐานของแบบจำลองถดถอยทั่วไป หากเราเติมชุดข้อมูลแสดงพิกัดที่ตั้ง (Location Coordinates) {(U_i,V_i)} จะสามารถเขียนสมการตามแบบจำลองการวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์ ได้

 

                                                                                      

เมื่อ {B0(U,V)} คือ ฟังก์ชั่น k + 1 ที่ต่อเนื่องกันบนตำแหน่งที่ตั้งในขอบเขตพื้นที่ศึกษา  เป็นค่าความผิดพลาดสุ่มในแบบจำลองการวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักด้วยภูมิศาสตร์ พื้นฐานนี้เราสมมุติให้มีการกระจายอย่างปกติที่เป็นอิสระด้วยค่าเฉลี่ยศูนย์ และมีความแปรปรวนปกติ เป้าหมายของ การวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักด้วยภูมิศาสตร์ คือการประมาณค่าจากฟังก์ชั่นนี้ ซึ่งเป็นเทคนิคที่ปรับปรุงมาจากวิธีการประมาณค่าพารามิเตอร์ของ (Casetti 1972) และการใช้แบบจำลองเพื่อหาค่าสัมประสิทธิ์ที่มีการเปลี่ยนแปลงไปตามกรณีเฉพาะของ Hastie and Tibshirani (1993) โดยการวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักด้วยภูมิศาสตร์มีลักษณะพิเศษที่ต้องการประมาณค่าโดยฟังก์ชั่นที่ใช้วิธี Kernel - Based Methods.

           

            ค่า Log - Likelihood สำหรับการประมาณค่าจากฟังก์ชั่นจึงเขียนได้ว่า (33)

 

เมื่อ D เป็นยูเนี่ยนของเซต {x_ij},{y_i} และ {(U_i,V_i)} ทั้งนี้ในหลายสถานการณ์ที่ใช้การวิเคราะห์ถดถอยแบบนันพาราเมทริกซ์ การเลือกฟังก์ชั่นและการประมาณค่าสูงสุดที่แสดงนี้จะไม่ค่อยมีประโยชน์นัก แต่ด้วยการกระจายของค่าความผิดพลาดที่กล่าวข้างบนนี้วิธีการ Maximum Likelihood จะทำให้ฟังก์ชั่นของ B_k(U_i,V_i) ถูกใช้ในรูปแบบของค่ากำลังสองน้อยที่สุด อย่างไรก็ตามเนื่องจากว่าฟังก์ชั่นดังกล่าวนี้เป็นสิ่งชี้ขาด จึงอาจจะใส่ค่า (U_i,V_i) ที่จะทำให้เกิดผลรวมกำลังสองของค่าความผิดพลาดเท่ากับศูนย์ได้ ดังตาราง 2 ข้างล่างนี้

ตาราง 1 ข้อมูลตัวอย่าง

ตาราง 2 ความเหมาะสมของ GWR ในจุดต่างๆ ที่สมบูรณ์

ตาราง 3 ความเหมาะสมของ GWR ในจุดสมบูรณ์ที่เป็นทางเลือก

สมมุติว่าเราต้องการแบบจำลอง y_i = B₀(U_i,V_i) + B₁(U_i,V_i)X_i + ɛ_i ที่ดี ความเป็นไปได้อย่างหนึ่งที่จะทำให้ได้สิ่งที่สมบูรณ์ที่สุดให้พิจารณาจุดทั้งสี่ของตัวอย่างในตาราง 2 พิจารณาให้ละเอียดที่ B(U_i,V_i) ตาราง 2 จะบอกให้ทราบว่า B₁(1,0) = 0,B₁(0,1) = 2, และ B₁(0,0) = 1 จะเห็นว่ามีฟังก์ชั่นของ B₁ จำนวนหนึ่งที่เป็นที่น่าพอใจแสดงไว้ในภาพ 6 a และ b แม้ว่าฟังก์ชั่นทั้งสองจะถูกยอมรับ ณ มุมทั้งสี่ของพื้นผิวที่แสดงค่าของจุดทั้งสี่จุด ซึ่งแตกต่างจากค่าของจุดอื่นๆ ภาพทั้งสองนี้แสดงให้เห็นถึงการมีความเหมาะสมที่สุดของข้อมูลตาราง 2 ที่นำมาคำนวณค่า Maximum Likelihood ดังนั้น Maximum Likelihood จึงไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาที่ดีที่สุดของเรา ในความเป็นจริงแล้วยังมีอะไรอีกหลายอย่างที่คลุมเครือ เนื่องจากตาราง 3 ไม่ได้ให้ฟังก์ชั่นของ B₀ และ B₁ ที่เหมาะสมนัก จึงจำเป็นที่จะต้องปรับให้เกิดทางเลือกที่เหมาะสมกว่าดังแสดงในตาราง 4

 

ภาพ 5 ลักษณะของพื้นผิวระนาบสัมประสิทธิ์ถดถอยเชิงเส้น (a) และไม่เชิงเส้น (b)

 

            มีกลยุทธที่เป็นทางเลือกเพื่อหลีกเลี่ยงความคลุมเครือที่ว่าอยู่สองทาง ทางแรกกำหนดฟังก์ชั่น B0(B1) โดยให้เงื่อนไขกับพารามิเตอร์บางอย่างและใช้เทคนิคที่จำเป็นในการประมาณค่าพารามิเตอร์หรือ ทางที่สองใช้วิธีการบางอย่างที่นอกเหนือจาก Maximum Likelihood มาวัดค่าในแบบจำลองตามสมการพื้นฐานของการวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์ ด้วยวิธีการแรกดูเหมือนจะมีเหตุผลที่ดีหากเรามีเหตุผลที่ทำให้เชื่อว่ารูปแบบของฟังก์ชั่นนั้นเหมาะสมอยู่แล้ว แต่ในการศึกษาทางภูมิศาสตร์จำนวนมากไม่ได้สรุปเช่นนั้นนั่นหมายความว่าวิธีการที่สองดูจะเหมาะสมสำหรับงานวิจัยทางภูมิศาสตร์มากกว่า

            1) Local Likelihood

            Local Likelihood ถูกนำมาพิจารณาในการใช้ประโยชน์ เพื่อการวิเคราะห์ในรายละเอียดเชิงพื้นที่ที่เรียกว่าแต่ละท้องถิ่น โดยให้ความสำคัญกับรายละเอียดต่างๆ ของแต่ละพื้นที่มากกว่าที่จะคำนวณค่าประมาณ {B₀(U,V),.........B_k(U,V)} แบบภาพรวม นั่นคือการให้ความสำคัญกับจุดแต่ละจุดที่แสดงเขตพื้นที่ทางภูมิศาสตร์ (U₀,V₀) โดยจะเป็นการประมาณค่า {B₀(U,V),.....Bk(U,V)} ถ้าหากว่าฟังก์ชั่นเหล่านี้มีความสมเหตุสมผลเราก็จะเขียนแบบจำลองการถดถอยง่ายๆ ได้ว่า

 เมื่อเข้าใกล้จุด (U₀,V₀) เมื่อ Yj แต่ละตัวเป็นค่าคงที่ที่เหมาะสมสอดสัมพันธ์กับ Bj(U,V) ในสมการพื้นฐานดังกล่าว ซึ่งจะทำให้ได้สมการสามารถใช้ค่าจากตัวอย่างของจุดที่ใกล้กับ (U₀,V₀) มาคำนวณได้ด้วยวิธีการนี้จะเป็นการใช้ค่ากำลังสองน้อยที่สุดมาถ่วงน้ำหนักด้วยการเลือก {yo.....yk} ที่มีค่าน้อยที่สุด

                                   

เมื่อ d_0i เป็นระยะทางระหว่างจุด (U₀,V₀) และ (U_i,V_i) นี่คือวิธีการ GWR มาตรฐานที่เราเขียนเซต     แทนด้วย  ในขั้นนี้จะนำเอา - ^-2 ไปคูณสมการข้างบนจนทำให้ได้ค่า log-likelihood ดังสมการข้างล่าง

คุณสมบัติของค่าประมาณการแต่ละตัวถูกศึกษาให้เกิดความเข้าใจในช่วง 10 ปีที่ผ่านมานี้ Staniswalis (1987a) บันทึกไว้ว่าถ้าหาก W( ) ถูกกำหนดเป็นค่ารวม WL(y0.....yk|D) จะเป็นค่าประมาณเชิงประจักษ์ของ Log - Likelihood ณ จุดที่มีการประมาณค่างานอีกชิ้นหนึ่งของ Staniswalis (1987b) แสดงให้เห็นถึงสถานการณ์ที่แน่นอนในการคำนวณค่า B_j(U,V) ภายใต้ขอบเขตของการประมาณขั้นที่ 1, 2 และ 3 รอบๆ จุด B_j(U₀,V₀) ยิ่งกว่านั้นการกระจายของฟังก์ชั่นการประมาณค่า  จึงเป็นการกระจายแบบปกติและไม่มีความลำเอียง

            ดังนั้น การวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์ จึงเป็นเทคนิคการคำนวณค่าที่มีเหตุมีผลสำหรับแบบจำลองตามสมการพื้นฐานดังกล่าว

 

            2) การใช้ค่า P-Values เพื่อการอ้างอิงทางสถิติ

 

            ในการจำลองถดถอยทั่วไปนั้น Goodness of Fit ถูกนำมาใช้เพื่อวัดค่าผลรวมความผิดพลาดกำลังสอง (Sum of Squares Residual) โดยอ้างถึงความผิดพลาดของผลรวมยกกำลังสอง (Residual sum of Squares) ซึ่งภายใต้ข้อกำหนดของแบบจำลองทั่วไปที่มีจำนวนพารามิเตอร์  ตัว จะสามารถคำนวณค่าความผิดพลาดของผลรวมยกกำลังสอง ดังนี้

 

เมื่อ  คือจำนวนพารามิเตอร์ที่ต้องการคำนวณในแบบจำลอง  คือ จำนวนตัวอย่างของข้อมูล และ เป็นค่าองศาอิสระ (Degree of Freedom) นั่นจึงทำให้ได้ค่า ² ดังนี้

                                     
ในกรอบการทำงานแบบนันพาราเมทริกซ์ของการวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์ จำนวนพารามิเตอร์และค่าองศาอิสระไม่ได้มีความหมายอะไร แต่ว่าในกรณีที่มีปัญหาหลายอย่างเกิดขึ้นกับการวิเคราะห์ถดถอยแบบนันพาราเมทริกซ์ แนวคิดเกี่ยวกับจำนวนพารามิเตอร์ที่มีประสิทธิภาพและค่าองศาอิสระที่มีประสิทธิภาพควรได้รับการนำมาพิจารณาจากสมการ E(RSS) จะเห็นว่าจำนวนค่าองศาอิสระมีความเชื่อมโยงกับค่าความผิดพลาดผลรวมยกกำลังสองในแบบจำลอง นั่นจึงจำเป็นจะต้องพิจารณาการกระจายของค่าความผิดพลาดผลรวมยกกำลังสองภายในกรอบของ การวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์

            ได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ว่าค่า  ที่แทนด้วย  ที่จัดมาอยู่ในรูปของเมทริกซ์ของ  ได้ว่า    ที่เป็นเมทริกซ์  ของ S ดังนั้นค่าความผิดพลาดที่เหมาะสมจึงเท่ากับ (I-S) เมื่อ I เป็นเมทริกซ์แสดงอัตลักษณ์ และ

ซึ่งตาม Cleveland (1979) และ Tibshirani and Hastie (1987) เราสามารถเขียนใหม่ได้ว่า

 

เมื่อ  เป็นส่วนอธิบายของเมทริกซ์  ส่วนแรกของสมการแสดงให้เห็นถึงความสัมพันธ์ของความแปรปรวนของค่าที่เหมาะสมและส่วนที่สองของสมการเป็นค่าความลำเอียง ซึ่งถ้าหากว่า การวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักด้วยภูมิศาสตร์มีช่วงกว้างตามที่เราเลือกแล้วความลำเอียงก็จะไม่ใช่เรื่องสำคัญ ซึ่งเป็นเหตุผลที่น่าเชื่อถือได้ว่าการมีกลุ่มตัวอย่างขนาดใหญ่จะให้ผลลัพธ์ที่น่าพอใจจึงเขียนสมการใหม่ได้ว่า                

 

ซึ่งก็คือสมการ E(RSS) นั่นเอง ส่วนจำนวนพารามิเตอร์ที่มีประสิทธิภาพในการวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักด้วยภูมิศาสตร์ คือ 2tr(S) - tr(S^TS) และค่าองศาอิสระคือ n-2tr(S) - tr(S^TS) โดยจำนวนพารามิเตอร์ที่มีประสิทธิภาพในการวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักด้วยภูมิศาสตร์ จะไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่จะเปลี่ยนไปอยู่ระหว่าง  (เมื่อช่วงกว้างเข้าใกล้ค่าอนันต์) และ  (เมื่อช่วงกว้างเข้าใกล้ศูนย์) ในหลายกรณี  มีค่าใกล้เคียงกับ มาก นั่นหมายถึงค่าที่เหมาะสมของจำนวนพารามิเตอร์ที่มีประสิทธิภาพ คือ

            Cleveland (1979) และ Hastie and Tibshirani (1990) แนะนำว่าการกระจายของความผิดพลาดของผลรวมยกกำลังสองที่ถูกหารด้วยจำนวนพารามิเตอร์ที่มีประสิทธิภาพอาจจะทำให้ได้ค่าประมาณที่สมเหตุสมผลที่การกระจายแบบไคสแควของค่าองศาอิสระที่มีประสิทธิภาพที่เท่ากับจำนวนพารามิเตอร์ที่มีประสิทธิภาพ ด้วยเหตุผลเหล่านี้เราจึงมีหลักการพื้นฐานสำหรับการทดสอบอัตราส่วน Likelihood ที่เหมาะสมด้วย F-test ที่เป็นการเปรียบเทียบความสามารถของแบบจำลองการวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักด้วยภูมิศาสตร์ และแบบจำลองทั่วไปในการนำเสนอข้อมูลกลุ่มตัวอย่าง หลักการง่ายๆ ก็คือการหารความผิดพลาดของผลรวมยกกำลังสองของการวิเคราะห์ถดถอยแบบรากกำลังสองน้อยที่สุดด้วยความผิดพลาดของผลรวมยกกำลังสองของ การวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักด้วยภูมิศาสตร์ และดำเนินการตามกระบวนการทดสอบด้วย F-test ให้ได้อัตราส่วน (d1,d2) เมื่อ d1 เป็นค่าองศาอิสระของแบบจำลอง การวิเคราะห์ถดถอยแบบรากกำลังสองน้อยที่สุด  และ d2 เป็นค่าองศาอิสระของ การวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักด้วยภูมิศาสตร์

 

          3) การทดสอบการแสดงออกทางพื้นที่ของพารามิเตอร์แต่ละตัว (Testing Individual Parameter Stationarity)

 

            การทดสอบการแสดงออกทางพื้นที่ของพารามิเตอร์แต่ละตัววัดได้โดยหลักการของความแปรเปลี่ยนไปบนพื้นที่ในแบบจำลองการวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักด้วยภูมิศาสตร์ (Brundon et al. 1996) โดยมีวิธีการในการใช้การวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักด้วยภูมิศาสตร์ คำนวณสัมประสิทธิ์ที่เราให้ความสนใจในแต่ละจุดข้อมูลทั้ง  จุด และคำนวณความแปรปรวน (หรือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน) ถ้าหากความแปรปรวนของพารามิเตอร์  ตัว ถูกเขียนไว้ในรูป

 

                                                  
                            

 

ถ้าหากว่าพารามิเตอร์ที่เราสนใจไม่มีการแปรเปลี่ยนไปตามลักษณะภูมิศาสตร์ของพื้นที่ค่าที่ได้จะทำให้เห็นความแปรเปลี่ยนบางอย่างของค่าประมาณแต่ละจุดของพารามิเตอร์ มีคำถามว่าการแปรเปลี่ยนที่เราสังเกตได้จะน่าเชื่อถือเพียงพอที่จะปฏิเสธสมมุติฐานที่ว่าพารามิเตอร์มีลักษณะเหมือนกันทั้งพื้นที่ได้หรือไม่ เพื่อดำเนินการให้ลุล่วงจึงพิจารณาการกระจายของความแปรปรวนที่สม่ำเสมอให้อยู่ในกรอบของสมมุติฐานที่ว่านั้น หากพารามิเตอร์ไม่แสดงรูปแบบเชิงพื้นที่ ดังนั้นการเปลี่ยนลำดับของตัวแปรในสมการถดถอยจะปฏิเสธการมีตำแหน่งที่ตั้งของมันเองด้วยหลักการนี้เราจึงสามารถจำลองการกระจายของความแปรปรวนแบบทั่วไปได้

            อย่างไรก็ตามอาจเกิดความยุ่งยากหรือเป็นไปไม่ได้เลยที่จะคำนวณการกระจายเชิงวิเคราะห์นี้ วิธีการ Monte Carlo จึงได้รับการยอมรับเพื่อแก้ปัญหาสำหรับช่วงเวลาหนึ่งในการศึกษาจำนวน  ตัวอย่าง พิกัดทางภูมิศาสตร์ของตัวอย่างจะถูกเรียงลำดับอย่างสุ่มในแต่ละตัวแปร เนื่องจากว่าเรากำลังตั้งคำถามเพียงเฉพาะแต่ความแปรเปลี่ยนไปทางภูมิศาสตร์ ของกลุ่มตัวอย่าง เราจึงไม่ได้เรียงลำดับตัวแปรอิสระบนตัวแปรตาม ดังนั้นเราจึงมีค่าต่างๆ ทั้งหมด  ค่า สำหรับความแปรปรวนของสัมประสิทธิ์ที่เราสนใจจะใช้ในการแสดงการกระจาย เราสามารถเปรียบเทียบค่าที่เป็นจริงของความแปรปรวนกับค่าต่างๆ ของการทดลอง ณ ระดับนัยสำคัญต่างๆ ได้

            ด้วยวิธีการนี้จะอนุญาตให้มีการทดสอบนัยสำคัญสำหรับความแปรเปลี่ยนไปของสัมประสิทธิ์ต่างๆ ซึ่งวิธีการอาจจะยุ่งยาก แต่ว่า  Leung et al.(2000a, 2000b) ได้แนะนำวิธีการเชิงวิเคราะห์เพื่อทดสอบความแปรเปลี่ยนไปของความแปรปรวนในกรอบสมมุติฐานลวง (Null Hypothesis) ว่า สัมประสิทธิ์มีค่าคงที่เหมือนกันทุกจุด ในการนี้ขั้นต้นจะมีการกำหนดให้  เป็นเวคเตอร์แนวตั้งที่มีองค์ประกอบเป็น โดยอาจเขียนเป็นสมการได้ว่า

 

                                                      
 

 

เมื่อ I เป็นเมทริกซ์เฉพาะ  และ  เป็นเมทริกซ์  ที่มีองค์ประกอบทั้งมวลเท่ากับ 1 จากสมการข้างบนนี้ หากแก้สมการนี้ด้วยว่าค่า  เป็นค่าเฉลี่ยของ  ที่เกิดขึ้นซ้ำๆ กัน  ครั้งในเวคเตอร์แนวตั้งและหาก ( )^T ( ) = ( ) แล้วสมการข้างบนนี้ก็จะเขียนใหม่ให้ง่ายๆ ได้ว่า

 

                              
                                             

 

อีกทั้ง Leung et al.(2000a) ยังกล่าวอีกว่า  สามารถเขียนเป็นรูปแบบเชิงเส้นของตัวแปรตาม  ได้โดย  เมื่อ

                                                                             

 

และ  เป็นเมทริกซ์ค่าถ่วงน้ำหนักที่มีความสัมพันธ์กับค่า Kernels เฉพาะที่อยู่รอบๆศูนย์กลางในแต่ละกรณี และ  เป็นเวคเตอร์แนวตั้งขององค์ประกอบ  เมื่อแทนค่า 1 สำหรับองค์ประกอบนั้น และค่าศูนย์สำหรับองค์ประกอบอื่นที่อยู่รอบๆ ทำให้เขียนสมการได้

           

                                                                    

 

อย่างไรก็ตามนี่เป็นรูปแบบง่ายๆ ของการแบ่งส่วนตัวแปร  แบบสุ่ม ซึ่งเขียนให้อยู่ในรูปลอกกาลิทึมได้ว่า

                                                                       

 

ในเบื้องต้นของนักสถิติใช้ค่าประมาณความถูกต้องเพื่อลดความซับซ้อนของการคำนวณแต่ Fotheringham et al (2002) เสนอว่า  เป็นค่าประมาณของ  ที่มีค่าองศาอิสระเท่ากับ  ค่าไคสแควดังกล่าวนี้อาจจะถูกถามโดยค่า ² ที่ทำให้ได้ค่าไคสแควของ n-2tr(S)-tr(S^TS) ซึ่งหมายถึงค่าองศาอิสระ ดังนั้นอัตราส่วนของปริมาณการกระจายแบบไคสแควทั้งสองคือการกระจายของ  ที่มีองศาอิสระ  และ n-2tr(S)-tr(S^TS) การทดสอบ F-test เป็นไปเพื่อแสดงให้เห็นว่าพารามิเตอร์ kth มีค่าเหมือนกันในทุกตำแหน่งที่ตั้ง (Stationaly)

 

            4) ช่วงของความเชื่อมั่น (Confidence Intervals)

 

            ณ ตรงนี้การอ้างอิงจะเป็นสิ่งที่เน้นตรงช่วงความเชื่อมั่นของการประมาณค่าต่างๆ มากกว่าการทดสอบนัยสำคัญในการสร้างช่วงของความเชื่อมั่นในจุดต่างๆ ของสัมประสิทธิ์การถดถอยนั้น เราจำเป็นจะต้องรู้จักรูปแบบของเมทริกซ์ความแปรปรวนและความแปรปรวนร่วม (Asymp Totic) ในกรอบการทำงานของการวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักด้วยภูมิศาสตร์ ค่าเหล่านี้สามารถ invert ลงไปในเมทริกซ์ได้ การแสดงอาจจะเป็นการนำเสนอผลลัพธ์ที่ได้กลับมาใหม่ตามข้อเสนอของ Staniswalis (1987b)

เมื่อ Outer() แทนผลลัพธ์ตัวนอกพหุคูณ (Multiplicative Outer Product) L เป็นค่า Likelihood ทั่วไปของ  และ  เป็นเมทริกซ์ของข้อมูลที่สัมพันธ์กับค่าประมาณการของ  ณ จุด  พึงตระหนักไว้ว่าแม่ว่าค่าประมาณการ  จะเป็นค่าท้องถิ่นของ แต่ฟังก์ชั่นของ Likelihood ยังเป็นแบบทั่วไปอยู่ เนื่องจากเราไม่รู้ว่าค่าที่แท้จริงของการแก้สมการเพื่อให้ได้ค่าเฉพาะส่วนเราจึงใช้ความจริงที่ว่าค่า Likelihood ท้องถิ่นคือตัวที่จะนำไปสู่การที่จะคำนวณค่า Likelihood ทั่วไป และจะนำค่า Likelihood ไปแสดงค่าในสมการความจริงแล้วแม้ว่าผลลัพธ์ที่ได้จะสามารถแสดงออกมาเป็นค่าพารามิเตอร์ต่างๆ ได้ แต่ว่าก็มีวิธีการทางตรงสำหรับการใช้แบบจำลองการวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์ คือ สมการพื้นฐานการวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์ ซึ่งเรานำมาเขียนใหม่ในรูปเมทริกซ์ได้ว่า

                                                         

เมื่อเมทริกซ์ X และเวคเตอร์ y และ  แสดงค่า xs, ys และ ys ที่เคยถูกกล่าวถึงมาก่อนหน้านี้แล้ว และ w เป็นเมทริกซ์วินิจฉัยของค่าถ่วงน้ำหนักท้องถิ่นรอบๆ ของ ดังนั้นสมการข้างบนจึงเขียนใหม่ให้ง่ายขึ้นได้ว่า C = (X^T WX)^-1 X^T W แต่ในสมการพื้นฐานดังกล่าวเราให้  กระจายอย่างอิสระด้วยค่าความแปรปรวนเท่ากัน ดังนั้น var(y) = ²I และความแปรปรวน ณ ตำแหน่งนั้นของเวคเตอร์  จึงเท่ากับ CCT ² อีกทั้งยังสามารถกำหนดช่วงความเชื่อมั่นในการประมาณค่าพื้นผิวหากเราใช้วิธีการประมาณ ² ตามสมการ สิ่งสำคัญที่จะต้องคำนึงถึงก็คือ ช่วงความเชื่อมั่น ณ จุดต่างๆ จะเป็นค่าท้องถิ่น แต่ ² เป็นค่าทั่วไปตามรูปแบบในสมการแสดงค่า Local Likelihood เมื่อเป็นดังนั้นช่วงความเชื่อมั่นเหล่านี้จึงไม่ได้เกิดจากผลลัพธ์ของแบบจำลองถดถอยที่ถ่วงน้ำหนักบนตำแหน่งต่างๆ ในท้องถิ่น นี่เป็นจุดสำคัญที่ดำเนินการด้วยแบบจำลองการวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์ แม้ว่าจะมีการประมาณค่าพารามิเตอร์ต่างๆ ของท้องถิ่นด้วยการเคลื่อน Kernel หนึ่งๆ ผ่านพื้นที่ศึกษาแล้วคำนวณค่าถ่วงน้ำหนักของการถดถอยแต่ละตัวออกมา ความผิดพลาดมาตรฐานของพารามิเตอร์ท้องถิ่นต่างๆ จะไม่ใช่ความผิดพลาดมาตรฐานที่ได้จากการถดถอยถ่วงน้ำหนักเหล่านี้

 

            5) การใช้ AIC เป็นทางเลือก

 

            วิธีการหนึ่งที่มีประโยชน์มากคือ AIC (Akaike Information Criterion) (Akaike, 1973) โดยวิธีการนี้มีแนวคิดอยู่ที่การประมาณค่า

                                    
                                          

 เป็นการวัดระยะห่างของข้อมูลการกระจายตามแบบจำลองของ g กับการกระจายตามความเป็นจริงของ f ในการเปรียบเทียบค่าที่ได้แต่ละค่าตามแบบจำลอง g1......gl ที่เรากำหนดให้ค่าเหล่านี้ใกล้กับความเป็นจริงที่สุดจะไม่เหมือนกับการอ้างอิงในสถิติทั่วไปที่เราไม่สามารถตัดสินใจได้ว่าสมมุติฐานนั้นเป็นจริงอย่างชัดเจน สำหรับการยืนยันความจริงที่สมบูรณ์อย่างใดอย่างหนึ่งนั้นในบริบททางสังคมศาสตร์มีความเคลือบแคลงสงสัยเกิดขึ้นแน่นอน รวมทั้งสาขาวิชาอื่นๆ ด้วยเช่นกัน ด้วยวิธีการนี้จึงตั้งอยู่บนเงื่อนไขว่าแบบจำลองทั้งหมดไม่ใช่ความจริงตามเงื่อนไขที่เข้มงวดของแบบจำลอง แต่ก็มีบางแบบจำลองที่สามารถอธิบายได้ใกล้เคียงความเป็นจริงมากกว่า

            โดยทั่วไปแล้ว Hat Matrix Situation ดังสมการในหน้าก่อนนี้ที่  เป็นการคูณ y เข้าไปในเมทริกซ์ s ความยาวของระยะห่างแสดงออกด้วยค่า AIC ที่คำนวณได้โดยสมการต่อไปนี้

 

                                          

เมื่อ  เป็นความผิดพลาดมาตรฐานที่คำนวณได้ เมื่อ c ตัวห้อยถูกใช้แสดงค่า AIC ที่คำนวณได้ถูกต้อง สมการถูกเขียนเพื่อให้เข้าใจได้ง่ายขึ้นดังนี้

 

                                               

โดยที่เราไม่สามารถเปรียบเทียบค่า AIC และค่า AICc ได้โดยตรง และไม่สามารถคำนวณค่า  ได้จากสมการ เดิม แต่จะคำนวณจากสมการต่อไปนี้

 

                                                                                                        

 

ความเหมาะสมของแบบจำลองแสดงลักษณะทางภูมิศาสตร์ของท้องถิ่น

 

            GWR จะทำกานประมาณค่าสัมประสิทธิ์ท้องถิ่นโดยการใช้แบบจำลองถดถอยที่เหมาะสมมาทำซ้ำด้วยการใส่ข้อมูลที่มีการถ่วงน้ำหนัก Kernel ของภูมิศาสตร์ รูปแบบง่ายๆ ที่สุดคือการวิเคราะห์ถดถอยด้วยการเคลื่อนหน้าต่างไปรอบๆ พื้นที่ โดยให้วงกลมวงหนึ่งที่มีรัศมีวัดจากจุดถดถอย  ที่พอเหมาะจะทำให้ได้ค่าสัมประสิทธิ์ถดถอยของจุดนั้นเราสามารถใช้แบบจำลองถดถอยเพื่อบรรจุกลุ่มของข้อมูลภายในวงกลมนี้สำหรับหาสัมประสิทธิ์ท้องถิ่น และ  นอกจากนี้เรายังสามารถแสดงภาพการกระจายของความสัมพันธ์ของ  และ  ในกรอบวงกลมที่สังเกตได้ ภาพที่ 1 แสดงการกระจายของความสัมพันธ์ที่ว่านี้ โดยจะเห็นว่ามีระดับความสัมพันธ์ที่แตกต่างกันในแต่ละท้องถิ่น เมื่อเราเคลื่อนวงกลมนี้และใช้แบบจำลองถดถอยคำนวณค่าใหม่ก็จะได้ค่าสัมประสิทธิ์ท้องถิ่นทุกจุดที่วงกลมนี้เคลื่อนที่ไป

            แทนที่เราจะใช้วงกลมเคลื่อนไปด้วยวิธีการถดถอยแบบเดิม เราใช้การถ่วงน้ำหนัก Kernel ของภูมิศาสตร์เพื่อสร้างพื้นผิวของสัมประสิทธิ์ท้องถิ่นให้เรียบขึ้นจึงเป็นการเหมาะสมที่จะคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ท้องถิ่นจากฐานความจริงของความสัมพันธ์ของตัวแปรต่างๆ ที่ต่อเนื่องกันไปบนพื้นที่ ตัวอย่างเช่น ความเป็นเมืองที่ค่อยๆ คลี่คลายลงอย่างต่อเนื่องจนเป็นชนบท ถ้าหากว่าความสัมพันธ์ระหว่างสุขภาพและรายได้ขึ้นอยู่กับตำแหน่งบนความต่อเนื่องระหว่างเมืองกับชนบทนี้ก็มีเหตุผลพอที่จะระบุได้ว่าความสัมพันธ์จะแปรเปลี่ยนไปตามพื้นที่ต่างๆ

                การถ่วงน้ำหนัก Kernel ของภูมิศาสตร์เพื่อให้ได้ค่าท้องถิ่นที่เหมาะสมทำได้โดยการแก้สมการกำลังสองน้อยที่สุดแล้วถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์ของจุดถดถอย  แต่ละจุด

 

           

 

เมื่อ   แทนค่าทำนายของตัวแปรตาม ณ จุด  ที่มีการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ท้องถิ่น

 

           

 

เพื่อให้พื้นผิวของสัมประสิทธิ์ท้องถิ่นเรียบขึ้น ค่าน้ำหนักทางภูมิศาสตร์ จะถูกกำหนดโดยฟังก์ชั่นการลดระยะทางแบบเรียบ (Smooth Distance-Decay Function) ที่ขึ้นอยู่กับความพอดีของข้อมูลจากการสำรวจจุดที่ใกล้กับ  คือ  จะมีค่าถ่วงน้ำหนักมากที่สุด ภาพที่ 1 แสดงให้เห็นถึงการถ่วงน้ำหนักของ Kernel ที่ว่านั้น

           

การทำแผนที่แสดงผลลัพธ์ GWR

 

            ผลลัพธ์ของ GWR สามารถนำมาทำแผนที่ได้ ดังภาพที่ 1 ที่เป็นแผนที่ความแปรปรวนของสัมประสิทธิ์ถดถอยท้องถิ่นที่คำนวณได้ (คือความลาดชันของเส้นกราฟแสดงความสัมพันธ์) ซึ่งเป็นผลกระทบของบริบททางภูมิศาสตร์ที่มีต่อความสัมพันธ์ของ y_i จากอิทธิพลของ x_i อย่างไรตามควรจะมีการนำเสนอค่าความแปรปรวนของค่าคงที่ ด้วยเพราะถ้าหากสัมประสิทธิ์ถดถอย  จุด  มีค่าเป็นศูนย์ ค่าคงที่ท้องถิ่น (Local Constant) นี้ ควรจะมีค่าเท่ากับค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักท้องถิ่นของตัวแปรตามรอบๆ จุด  

 

               

 

            ในทางตรงกันข้ามถ้าหาก มีค่าเป็นลบค่าคงที่นี้ควรจะมีค่ามากกว่าค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักท้องถิ่น เนื่องจากในสถานการณ์ที่ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักท้องถิ่นระหว่างการสังเกตได้และการทำนายตัวแปรตามมีค่าเท่ากันบนฐานของวิธีกำลังสองน้อยที่สุด

            โดยสรุปแล้วสัมประสิทธิ์ถดถอยท้องถิ่นเป็นตัวแสดงข้อมูลหลายอย่างในรูปแบบที่แปรเปลี่ยนกันไปตามลักษณะที่แตกต่างกันของท้องถิ่น ค่าคงที่ท้องถิ่นมีความสัมพันธ์กับสหสัมพันธ์ท้องถิ่นระหว่างตัวแปรในแบบจำลองถดถอยสูงด้วย ดังนั้นการแปรความหมายแผนที่แสดงค่าคงที่ท้องถิ่นจึงเป็นเรื่องยาก โดยเฉพาะกับกรณีที่ใช้แบบจำลองถดถอยพหุคูณในการวิเคราะห์

 

การเลือกช่วงกว้างและแบบจำลอง

 

แบบจำลอง GWR ที่มีความแปรปรวน (Multivariate GWR Model) ต่อไปนี้

 

               

 

เมื่อ  เป็นตัวแปรอิสระ ณ ตำแหน่ง  ที่  สำหรับ  ทุกตัว ซึ่ง  เป็นค่าคงที่ท้องถิ่นการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ท้องถิ่นของแบบจำลอง ณ จุด  ดูได้จากเมทริกซ์ของการถ่วงน้ำหนักของค่ากำลังสองน้อยที่สุด

 

                = (X^tW_iX)^-1X^tW_iy,

 

เมื่อ  เป็นเวคเตอร์ของสัมประสิทธิ์ท้องถิ่น ณ จุดถดถอย i

 

                                                                      

 

X เป็นเมทริกซ์ที่ถูกออกแบบมาและ (X)^t เป็นการเปลี่ยนตำแหน่งในเมทริกซ์ X

 

X =                                                         

 

W_i เป็นเมทริกซ์แทยงของค่าถ่วงน้ำหนัก Kernel ทางภูมิศาสตร์ที่มีระยะทางห่างจาก i

 

W_i                                                         

 

และ y เป็นเวคเตอร์ของตัวแปรตาม

 

            y   =  (y₁, y_2, …)^t                                                                                                

 

ดังแสดงในสมการตอนต้นแบบจำลอง GWR จะทำนายตัวแปรตาม ณ จุด i ตามสัมประสิทธิ์ท้องถิ่น  ที่เป็นค่าเฉพาะของจุดนั้นเราจึงแสดงผลการทำนายได้ตามค่าสัมประสิทธิ์ท้องถิ่นต่อไปนี้

 

                  =         

                                =             

                                =              X_i(X^tW_iX)^-1X^tW_iy                                                          

เมื่อ X_i เป็นเวคเตอร์แถวที่ i_th ของ X

 

            ในเงื่อนไขของเวคเตอร์-เมทริกซ์นั้น การทำนายค่าด้วยการถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์เขียนใหม่ได้ว่า

 

                     =          Hy                                                                   

 

เมื่อแถวที่ i ของเมทริกซ์ H(h_i) แสดงได้ด้วย

 

            h_i         =          x_i(X^tW_iX)^-1X^tW_i                                                

           

            การเมทริกซ์เพื่อนำเอาค่าต่างๆ จากการสำรวจเข้าไปสู่การทำนายนั้นอ้างอิงได้จากเมทริกซ์มีหมวกของแบบจำลองการถดถอย เนื่องจากการคัดลอกเมทริกซ์มีหมวกมีความเกี่ยวพันกับพารามิเตอร์การถดถอยจำนวนมากในแบบจำลองถดถอยทั่วไป จึงจำเป็นจะต้องกำหนดค่าประสิทธิภาพของพารามิเตอร์ (Effective Number) ในแบบจำลองถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์

 

            p          =          trace(H)

                        =                                                                       

 

            โดยทั่วไปแล้ว แบบจำลองถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์ที่มีช่วงกว้างขนาดเล็กจะมีค่าประสิทธิภาพทางพารามิเตอร์มากกว่าการมีช่วงกว้างขนาดใหญ่ และเมื่อช่วงก้างมีขนาดใหญ่ขึ้นจนถึงระยะอนันต์ค่าประสิทธิภาพของพารามิเตอร์ในแบบจำลองถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์จะเข้าใกล้กับค่าที่ได้จากแบบจำลองถดถอยทั่วไป

            แบบจำลองถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์ อันหนึ่งจะมีค่าประสิทธิภาพของพารามิเตอร์ที่เหมาะสม ก็ด้วยการกำหนดช่วงกว้างขนาดที่พอดี ซึ่งขึ้นอยู่กับคุณลักษณะความแปรเปลี่ยนไปตามสภาพของพื้นที่ ความน่าเชื่อถือของการใช้แบบจำลองทำนายปรากฏการณ์จึงผูกพันกับขนาดของความแปรปรวนด้วย กรณีของการใช้แบบจำลองถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์ที่มีช่วงกว้างขนาดใหญ่ จะทำให้ผลลัพธ์ที่ได้ค่อนข้างลำเอียง ไม่สอดคล้องกับคุณลักษณะของการกระจายสัมประสิทธิ์ท้องถิ่นเท่าที่ควร ดังนั้นการเลือกกำหนดขนาดของช่วงกว้างจึงต้องคำนึงถึงปัญหาระหว่างค่าองศาอิสระกับค่าองศาความเหมาะสม หรือระหว่างความลำเอียงกับความแปรปรวนของค่าประมาณของท้องถิ่น

            เพื่อแก้ปัญหาดังกล่าวนี้ เราสามารถใช้ค่าดัชนีสถิติของการเปรียบเทียบแบบจำลอง เช่น CV (Cross-Validation), GCV (Generalized Cross-Validation) และ AIC (Akaike’s Information Criterion) เพื่อกำหนดช่วงกว้างที่เหมาะสม เฉพาะอย่างซึ่ง AICc ที่ใช้สำหรับกรณีกลุ่มตัวอย่างขนาดเล็กจะเป็นประโยชน์อย่างมากต่อการเลือกช่วงกว้างเพราะทั้ง CV และ AIC แบบเดิมๆ นั้นจะให้ผลลัพธ์ที่ไม่ค่อยราเรียบบนองศาอิสระขนาดเล็ก ทั้งนี้ AICc หาได้จากสมการต่อไปนี้

 

            AICc    =                                       

 

เมื่อ SupL เป็น Log-Likelihood ของแบบจำลองที่มีค่าองศาที่เหมาะสม หากแบบจำลองมีความเหมาะสมดีแล้ว -2SupL จะมีค่าน้อยมากส่วน q เป็นจำนวนพารามิเตอร์ที่มีอยู่ในแบบจำลอง โดยอาจเป็นได้ว่า q = p + 1 เมื่อกำหนดให้ความผิดพลาดกระจายปกติ ค่า q มีน้อยหมายความว่า แบบจำลองนี้เป็นแบบจำลองที่ง่ายๆ สามารถอธิบายความสัมพันธ์ได้อย่างง่ายๆ

            เราสามารถใช้ AICc และดัชนีอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องกัน ไม่เพียงแต่ไปกำหนดขนาดช่วงกว้างที่ดีที่สุดเท่านั้น แต่ยังใช้เพื่อเปรียบเทียบแบบจำลองนี้กับแบบจำลองอื่นๆ รวมทั้งแบบจำลองทั่วไปและแบบจำลองถดถอยถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์ที่มีตัวแปรต่างกัน หรือแสดงรูปแบบของสมการต่างกันได้ด้วย

         

งานวิจัยที่เกี่ยวข้อง

 

            ในการทบทวนงานวิจัยที่เกี่ยวข้องแบ่งออกเป็น 3 ส่วนด้วยกัน คือ การวิเคราะห์การกระจายคนพิการในพื้นที่ต่างๆ ของ McCoy, David and Hudson (1994) และพัฒนา ราชวงศ์ นรินทร์ทิพย์ ฟองมูล และอัมพวัลย์ คำเชียงเงิน (2554) การใช้การวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์ ในการวิเคราะห์ความสัมพันธ์ทางพื้นที่ในประเด็นต่างๆ ของ Brundon, Fotheringham and Charlton (1996), Gilbert and Chakraborty (2011), Tu (2011) พัฒนา ราชวงศ์ (2556) และการนำเสนอผลลัพธ์ที่ได้ในแผนที่เฉพาะเรื่อง (Chloroplete Map) ของ Mennis (2006) ดังรายละเอียดดังต่อไปนี้

 

            1. การวิเคราะห์การกระจายคนพิการในพื้นที่

 

             งานวิจัยของ McCoy, David and Hudson (1994) เกี่ยวกับการกระจายทางภูมิศาสตร์ของผู้พิการในสหรัฐอเมริกา จะเป็นการให้ภาพกว้างๆ ของการกระจายทางภูมิศาสตร์ ของอัตราการได้รับผลประโยชน์ของผู้พิการจากโปรแกรมการประกันสุขภาพผู้พิการ และการสนับสนุนความมั่นคงของรายได้ของผู้พิการ ในแต่ละเมืองขององค์การบริหารจัดการความมั่นคงทางสังคม แผนที่และตารางที่นำเสนอประกอบเป็นสิ่งยืนยันด้วยเหตุการณ์ต่างๆ แยกเป็นผู้ได้รับประโยชน์ชายและหญิง พร้อมนี้ได้แสดงการกระจายทางภูมิศาสตร์บนขอบเขตของเมืองแต่ละเมืองที่อยู่ภายใต้การดูแลของหน่วยของรัฐในระดับภูมิภาค เป้าหมายของบทความ คือ ต้องการแสดงให้เห็นพื้นที่ต่างๆ ในท้องถิ่นว่ามีระดับของการได้รับการช่วยเหลือผู้พิการสูงหรือต่ำอย่างไร แผนที่ที่นำเสนอและตารางต่างๆ จะแสดงถึงสถานะปัจจุบันและศักยภาพของนักวางแผนและผู้บริหารแผนงานการบริหารความมั่นคงของสังคม ตัวอย่างเช่น ความรู้ที่ได้เกี่ยวกับพื้นที่ที่มีการให้บริการที่เกิดประโยชน์ทั้งด้านการประกันสุขภาพ และการสนับสนุนความมั่นคงของรายได้ จะสามารถนำไปใช้โดยหน่วยงานบริหารและสำนักงานสาธารณสุข เพื่อประเมินความต้องการและความเอื้ออำนวยของบริการต่างที่เหมาะสมได้ ส่วนผลการศึกษาของพัฒนา ราชวงศ์ นรินทร์ทิพย์ ฟองมูล และอัมพวัลย์ คำเชียงเงิน (2554) พบว่า ในเชิงพื้นที่ความสัมพันธ์ระหว่างสัดส่วนคนพิการต่อประชากรหนึ่งพันคนกับระดับความเป็นเมือง การกระจายของความยากจน และพื้นที่เสี่ยงดินโคลนถล่ม มีความสัมพันธ์ที่แสดงออกบนพื้นที่ได้ แม้ว่าจะมีค่าร้อยละของความสัมพันธ์ในแต่ละตำบลเพียง 17.29 12.73 และ 12.05 ซึ่งเป็นไปได้ว่าระดับความเป็นเมืองมีผลต่อความหนาแน่นของประชากร โดยความหนาแน่นดังกล่าวจะมีอิทธิพลต่อจำนวนคนพิการในพื้นที่ตำบลนั้นๆ จึงทำให้พื้นที่ตำบลที่อยู่ในเขตเมืองและรอบๆ มีสัดส่วนคนพิการกระจายอยู่มากกว่าพื้นที่ที่ห่างไกลออกไป ขณะที่การกระจายของความยากจนอาจส่งผลให้คนพิการมีแรงจูงใจในการจดทะเบียนคนพิการ และขอใช้สิทธิ์ในการฟื้นฟูและช่วยเหลือในด้านต่างๆ ส่วนพื้นที่เสี่ยงภัยดินโคลนถล่มที่อาจมีผลต่อการเกิดภัยอันตรายจนทำให้ประชาชนบางส่วนต้องกลายเป็นคนพิการนั้น แม้ว่าจะมีความสัมพันธ์กับสัดส่วนคนพิการต่อประชากรหนึ่งพันคนก็ตาม แต่การจัดการกับข้อมูลพื้นที่เสี่ยงภัยดินโคลนถล่มเพื่อนำเข้ามาสู่สมการสหสัมพันธ์ยังไม่สมบูรณ์มากนัก ดังนั้น ความสัมพันธ์ดังกล่าวจึงอาจเกิดจากแค่ความบังเอิญเพียงเท่านั้น

 

            2. การประยุกต์ใช้การวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์ในแต่ละกรณีศึกษา

           

งานวิจัยเรื่อง การวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์: วิธีการสำรวจปรากฎการณ์บนพื้นที่ที่ไม่เหมือนกันตลอดทั้งพื้นที่ ของ Brunsdon, Chris; Fortherington, A. Steward; and Charlton, Martin E. (1996). การเกิดขึ้นของปรากฏการณ์บนพื้นที่ที่แปรเปลี่ยนไปตามลักษณะของท้องถิ่นแต่ละแห่ง (Spatial Nonstationarity) เป็นเงื่อนไขหนึ่งที่แบบจำลองทั่วไป (Global Model) ไม่สามารถอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรบางกลุ่มที่มีต่อกันและกันได้ ธรรมชาติของแบบจำลองที่ว่านั้น จะทำการปรับเปลี่ยนและจัดการเหนือพื้นที่ เพื่อสะท้อนโครงสร้างภายในที่แท้จริงของข้อมูลออกมา บทความบทนี้จะได้นำเสนอเทคนิคอย่างที่ได้รับการพัฒนาขึ้นมาภายใต้ชื่อว่า "การวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์" (GWR: Geographically Weighted Regression) ซึ่งถือว่าเป็นความพยายามที่จะตรวจจับความแปรปรวนนี้ ด้วยการปรับปรุงแบบจำลองการวิเคราะห์ถดถอยพหุคูณ ที่จะทำให้เห็นถึงความสัมพันธ์ที่แตกต่างกันในจุดต่างๆ บนพื้นที่ โดยเทคนิคนี้จะอาศัยฐานคิดหลักจากค่าสัมประสิทธิ์ของการวิเคราะห์ถดถอยเป็นสำคัญ โดยจะได้อธิบายถึงตัวของวิธีการนี้และประเด็นต่างๆ ที่สัมพันธ์กัน เป็นต้นว่า การเลือกฟังก์ชั่นเพื่อนำมาใช้ถ่วงน้ำหนักเชิงพื้นที่ หลังจากนั้น จะได้กล่าวถึงการทดสอบทางสถิติที่เกี่ยวข้องทั้งหมดอันจะนำไปสู่การทดสอบการเกิดขึ้นของปรากฏการณ์บนพื้นที่ที่แปรเปลี่ยนไปตามลักษณะของท้องถิ่นแต่ละแห่ง รวมถึงการใช้เทคนิคมอนติ คาร์โล เพื่อทำการทดสอบสมมุติฐานลวง ตามกรอบของแบบจำลองทั่วไป มากกว่าที่จะสามารถนำมาใช้กับปรากฏการณ์บนพื้นที่ที่แปรเปลี่ยนไปตามลักษณะของท้องถิ่น และจะใช้ในการทดสอบค่าสัมประสิทธิ์การถดถอย แต่ละตัวที่ถูกกำหนดให้มีลักษณะเหมือนกันทั้งหมดในพื้นที่ เทคนิคเหล่านี้จะได้รับการสาธิตด้วยการยกตัวอย่างจากการวิเคราะห์ข้อมูลสำมะโนประชากรของสหราชอาณาจักรเมื่อปี 1991 เกี่ยวกับอัตราการได้เป็นเจ้าของรถยนต์นั่งส่วนบุคคล กับระดับชั้นทางสังคมและการว่างงานของประชากรชาย ตอนท้ายของบทความนี้ จะได้สรุปเพื่อถกแถลงถึงวิธีการต่างๆ ในการขยายองค์ความรู้ ทักษะ และวิธีการที่เกี่ยวข้องให้ลึกซึ้งยิ่งขึ้น

 

            วัตถุประสงค์ เป้าหมายของงานวิจัยฉบับนี้ต้องการอธิบายถึงเทคนิคทางสถิติที่เรียกว่า GWR: Geographically Weighted Regression ที่สามารถนำเอาตัวแปรทางพื้นที่ที่มีลักษณะซับซ้อนมาคำนวณค่าพารามิเตอร์ เพื่อแสดงอัตลักษณ์ของความสัมพันธ์นำมาแสดงลงในแผนที่ และสร้างเป็นแบบจำลองเพื่ออธิบายให้เกิดความเข้าใจแบบสากล ทฤษฎีและแนวความคิด ปรากฏการณ์เชิงพื้นที่ที่แปรเปลี่ยนไปตามลักษณะของท้องถิ่น เครื่องมือที่ใช้ GWR: Geographically Weighted Regression และ Monte Carlo Methods การวิเคราะห์ ใช้ GWR: Geographically Weighted Regression ผลที่ได้จากการศึกษา เพื่อแสดงตัวอย่างการวิเคราะห์อัตราการมีรถยนต์นั่งส่วนบุคคลที่สัมพันธ์กับชั้นทางสังคมและการว่างงานของผู้ชายในย่าน Tyre and Wear ของเมืองนิวคาสเซิล ประเทศอังกฤษ

 

ตาราง 4 ผลลัพธ์การวิเคราะห์ถดถอยทั่วไปแบบกำลังสองน้อยที่สุด

Global OLS Regression Results
Parameter	Estimated Value	Standard Error	t value
Intercept	88.5	2.89	30.6
Social Class	1.88	0.33	5.7
Unemployment	-1.83	0.11	16.6
R2 = .83

 

ตาราง 5 การทดสอบนัยสำคัญเหตุการณ์ที่แปรเปลี่ยนไปตามลักษณะของท้องถิ่น

Significance Tests for Nonstationarity
Variable	Si	p-value
Intercept	6.34	0.40
Social Class I	1.66	0.04
Male Unemployment	0.17	0.96

 

            ตาราง 2.4 เป็นผลลัพธ์ของวิธีการวิเคราะห์ถดถอยด้วยค่ากำลังสองน้อยที่สุด (OLS: Ordinary Least Square Regression) ซึ่งจะให้ค่า R² = 0.83 หมายความว่าตัวแปรทั้ง 3 ตัวมีความสัมพันธ์ค่อนข้างสูงในทางบวกขณะที่ตัวแปร Social Class มีอิทธิพลต่อการมีรถยนต์นั่งส่วนบุคคล 1.88 และ Unemployment มีอิทธิพลต่อการมีรถยนต์นั่งส่วนบุคคล -1.83 ซึ่งความสัมพันธ์ และอิทธิพลของตัวแปรดังกล่าวเป็นไปแบบเดียวกันทั่วทั้งย่าน Tyre and Wear ของเมืองนิวคาสเซิล

            ตาราง 2.5 เป็นผลการวิเคราะห์ระดับนัยสำคัญจากการวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์ ทำให้ได้ค่าแสดงอิทธิพลของตัวแปรเป็นค่าใหม่ ซึ่งสามารถนำมาแสดงในแผนที่ความแปรปรวนไปตามย่านพื้นที่ย่อยๆ ของย่าน Tyre and Wear ของเมืองนิวคาสเซิล

            สรุปผล  เทคนิค GWR: Geographically Weighted Regression นี้ สามารถตอบสนองสิ่งที่ขาดหายไปของการนำเนอผลการวิเคราะห์ทางสถิติแบบเดิมที่มักแสดงผลลัพธ์เป็นค่ารวมของพื้นที่หนึ่งๆ ด้วยการแสดงผลลัพธ์ที่แปรปรวนไปตามท้องถิ่นต่างๆในพื้นที่นั้น ซึ่งสามารถนำไปทำแผนที่แสดงความแปรปรวนของความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้นได้เป็นอย่างดี

            งานวิจัยเรื่อง การใช้การวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์สำหรับการวิเคราะห์ความยุติธรรมด้านสิ่งแวดล้อม: ความเสี่ยงต่อการเกิดโรคมะเร็งสะสมจากมลพิษทางอากาศในฟลอริดา ของ Gilbert,Angela and Chakraborty Jayajit (2011).

ภาพ 6 แผนที่แสดงการกระจาย 5 ระดับ ของค่า Intercept Coefficient Social Class ที่มีต่ออัตราการมีรถยนต์นั่งส่วนบุคคล และค่า Unemployment

            Gilbert and Chakraborty (2011) เริ่มต้นด้วยการกล่าวถึงงานวิจัยเชิงปริมาณที่ทำเกี่ยวกับสิ่งแวดล้อมว่ามีข้อจำกัดจากข้อสมมติฐานง่ายๆ ที่จะใช้สำหรับการวัดสำหรับความเสี่ยงที่จะเกิดกับสุขภาพ และเทคนิคการวิเคราะห์ถดถอยแบบเดิม และจากเทคนิคการวิเคราะห์ถดถอยแบบเดิมที่ไม่สามารถแสดงให้เห็นถึงความแปรปรวนทางพื้นที่ที่เกิดจากความสัมพันธ์ทางสถิติ เราจึงต้องการลดช่องว่างปัญหาเหล่านี้ด้วยการจัดทำกรณีศึกษานี้ขึ้นมาเพื่อทดลองมีวัตถุประสงค์ เพื่อศึกษาความเสี่ยงต่อสุขภาพที่มีโอกาสจากการเผชิญหน้ากับภัยพิบัติของมลพิษทางอากาศในรัฐฟลอริดา ที่จะมีความสัมพันธ์กับสีผิว/ ลักษณะชาติพันธุ์และสถานะทางสังคมเศรษฐกิจ และเพื่อศึกษาให้เห็นถึงนัยสำคัญทางสถิติที่แสดงให้เห็นถึงความสัมพันธ์ระหว่างความเสี่ยงทางสุขภาพและสีผิว/ ลักษณะชาติพันธุ์หรือสถานะทางสังคมเศรษฐกิจนั้นแปรเปลี่ยนไปตามพื้นที่ต่างๆ ทั่วทั้งรัฐอย่างไรบ้าง

ภาพ 7 การกระจายของ P-Value ท้องถิ่น

 

            ทฤษฎีและแนวความคิดเกี่ยวกับการวิเคราะห์ความยุติธรรมด้านสิ่งแวดล้อม (Environmental Justice Analysis) เครื่องมือที่ใช้บูรณาการกรอบพื้นที่จากสำมะโนประชากรเข้ากับข้อมูลความเสี่ยงต่อการเกิดโรคมะเร็งสะสมของสำนักงานพิทักษ์สิ่งแวดล้อมปี 2000 สำหรับเทคนิคเชิงพื้นที่ที่ใช้คือ การวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์ ที่จะทำให้เราค้นพบความแปรปรวนทางพื้นที่ การวิเคราะห์ใช้เทคนิค สถิติเชิงพื้นที่ และการวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์ ผลที่ได้จากการศึกษาผลลัพธ์ของการวิเคราะห์ชี้ให้เห็นว่าสีผิวและลักษณะชาติพันธุ์มีความสัมพันธ์อย่างมีนัยสำคัญกับความเสี่ยงต่อการเกิดโรคมะเร็งในรัฐฟลอริดา

 

            และได้สรุปในเชิงเสนอแนะว่าวิธีการวิเคราะห์ถดถอยแบบดั้งเดิมได้ซ่อนเอาความแปรปรวนที่แปรผันไปตามท้องถิ่นที่สำคัญของความสัมพันธ์ทางสถิติของการให้ความยุติธรรมด้านสิ่งแวดล้อม ดังนั้นการจัดการสิ่งแวดล้อมเพื่อลดปัญหามลพิษทางอากาศที่จะส่งผลต่อการเกิดโรคมะเร็งจึงไม่สามารถดูผลการวิเคราะห์ถดถอยแบบดั้งเดิมได้ทั้งหมด แต่จะต้องใช้ผลการวิเคราะห์จาก การวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์ ที่แสดงความแปรปรวนแตกต่างกันทางพื้นที่

           

            งานวิจัยของ Tu (2011) เรื่อง การวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์เพื่อค้นหาความสัมพันธ์ของการใช้ที่ดินกับคุณภาพน้ำที่แปรปรวนไปตามพื้นที่ที่มีความเป็นเมืองแตกต่างกัน ใช้วิธีการวิเคราะห์ถดถอยด้วยค่ากำลังสองน้อยที่สุด และการวิเคราะห์สหสัมพันธ์แบบสเปียร์แมน มีสมมุติฐานว่า ความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้นนั้นเป็นไปอย่างเสมอเท่าเทียมกันตลอดทั่วทั้งพื้นที่ อย่างไรก็ตามมีบ่อยครั้งที่ความสัมพันธ์แปรเปลี่ยนไปตามพื้นที่ เนื่องจากลักษณะของพื้นที่ลุ่มน้ำและแหล่งมลพิษไม่เหมือนกันในแต่ละจุดแต่ละพื้นที่ ใช้การวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์ เพื่อค้นหาความสัมพันธ์ที่แปรเปลี่ยนไปตามพื้นที่ระหว่างการใช้ประโยชน์ที่ดิน พบว่าความสัมพันธ์ระหว่างคุณภาพน้ำกับการใช้ประโยชน์ที่ดิน และความสามารถของดัชนีชี้วัดการใช้ประโยชน์ที่ดิน สามารถอธิบายคุณภาพน้ำที่แปรเปลี่ยนไปตามพื้นที่ต่างๆ ที่มีระดับความเป็นเมืองแตกต่างกันได้ค่อนข้างดี ค่าร้อยละของพื้นที่ย่านการค้ากับพื้นที่ย่านอุตสาหกรรม มีความสัมพันธ์ทางบวกค่อนข้างสูงกับการกระจุกตัวอยู่ของมลพิษทางน้ำ ในบริเวณพื้นที่ที่มีความเป็นเมืองค่อนข้างน้อย ซึ่งตรงกันข้ามกับในพื้นที่ที่มีความเป็นเมืองมากกว่า ค่าร้อยละของพื้นที่การเกษตร ที่ดินเพื่อการอยู่อาศัย และพื้นที่เพื่อการพักผ่อนหย่อนใจ มีความสัมพันธ์อย่างมีนัยสำคัญทางบวกกับการกระจุกตัวอยู่ของมลพิษทางน้ำ ในบริเวณพื้นที่สุ่มตัวอย่างที่มีความเป็นเมืองน้อย ขณะที่มีความสัมพันธ์อย่างมีนัยสำคัญทางลบในพื้นที่ตัวอย่างที่มีความเป็นเมืองสูงมากๆ

 

            งานวิจัย เรื่อง “การวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักด้วยภูมิศาสตร์เพื่อสร้างฟังชั่นความเสียหายจากภาวะน้ำท่วมในพื้นที่ลุ่มน้ำยมตอนล่าง” ของพัฒนา ราชวงศ์ (2556) มีวัตถุประสงค์เพื่อสำรวจสภาพแวดล้อม และความเสียหายของบ้านเรือน และทรัพย์สิน ของประชาชนในพื้นที่อำเภอบางระกำที่ประสบอุทกภัย เพื่อวิเคราะห์ด้วยการถดถอยแบบพหุครอบรอบด้านให้ได้ฟังก์ชั่นความเสียหายจากภาวะน้ำท่วม และเพื่อวิเคราะห์ด้วยการถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักด้วยภูมิศาสตร์ให้ได้ฟังก์ชั่นความเสียหายจากภาวะน้ำท่วมที่เหมาะสมกับสภาพแวดล้อมของท้องถิ่น การสร้างฟังก์ชั่นความเสียหายของบ้านเรือนที่ถูกน้ำท่วม กำหนดให้มูลค่าความเสียหายของบ้านเรือนเป็นปรากฏการณ์ที่ต้องอธิบาย โดยมีตัวแปรอิสระ 7 ตัวเป็นสิ่งบอกเหตุ ประกอบด้วย ระดับความลึกของน้ำท่วม ระยะห่างจากแม่น้ำ ระยะเวลาที่ถูกน้ำท่วม สภาพบ้านเรือน การใช้ประโยชน์ตัวบ้านเรือน จำนวนสมาชิกในครัวเรือน และรายได้รวมของครัวเรือน ทำการวิเคราะห์ถดถอยพหุคูณ โดยกำหนดให้คัดเลือกตัวแปรที่มีนัยสำคัญเอาไว้ และให้ตัดตัวแปรที่มีความสำคัญน้อย และ/หรือเป็นตัวแปรซ้ำซ้อนออกไปด้วยวิธีการ Stepwise Regression Analysis พบว่า ระดับความลึกของน้ำที่ท่วม เป็นตัวแปรเดียวที่ยังคงเหลืออยู่ในสมการถดถอย โดยมีค่า R-Squares = 0.023 มีนัยสำคัญที่ระดับ 0.01 จากนั้นนำตัวแปรดังกล่าวไปสร้างฟังก์ชั่นในรูปแบบต่างๆ พบว่า รูปแบบ EXP ให้ค่า R-Squares = 0.053 ซึ่งสูงที่สุด จึงทำให้เขียนฟังก์ชั่นความเสียหายจากภาวะน้ำท่วม ได้ดังนี้

 

            DMG = 2,031.830 + 0.0033 DEP + e

 

เมื่อ DMG คือ ระดับความเสียหายของบ้านเรือน (หน่วย: บาท) DEP คือ ระดับความลึกของน้ำที่ท่วมบ้านเรือนของราษฎร (หน่วย: เมตร) การวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักด้วยภูมิศาสตร์ เพื่อแสดงพื้นที่ที่ได้รับความเสียหายของบ้านเรือนจากภาวะน้ำท่วมที่เหมาะสมกับสภาพแวดล้อมท้องถิ่น มีค่า R Square และ Adjusted R Square ที่บ่งชี้ถึงระดับความสัมพันธ์ของความเสียหายของบ้านเรือนกับระดับความลึกของน้ำที่ท่วมบ้านเรือน เท่ากับ 0.038345 และ 0.035934 ตามลำดับ ผลลัพธ์ที่ได้จากการวิเคราะห์ถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักด้วยภูมิศาสตร์ แสดงค่าสัมประสิทธ์กำหนดความสัมพันธ์ระหว่างมูลค่าความเสียหายของบ้านเรือนกับระดับความลึกของน้ำท่วม (Local R2) มูลค่าความเสียหายของบ้านเรือนที่ถูกน้ำท่วมจากฟังก์ชั่นความเสียหาย (Predicted) มูลค่าเริ่มต้นของความเสียหายของบ้านเรือนที่ถูกน้ำท่วมจากฟังก์ชั่นความเสียหาย (Coefficient Intercept) สัมประสิทธ์ถดถอยเชิงภูมิศาสตร์ของระดับความลึกของน้ำท่วม (Coefficient-1 ความลึก) และระดับความผิดพลาดของการทำนายมูลค่าความเสียหายของบ้านเรือนที่ถูกน้ำท่วม (Residual) ในแผนที่ได้ทั้งหมด โดยพบว่า 1. มูลค่าเริ่มต้นของความเสียหายของบ้านเรือนจากภาวะน้ำท่วมจะสูงขึ้นไปทางเหนือของพื้นที่ 2. มูลค่าความเสียหายบ้านเรือนที่สัมพันธ์กับระดับความลึกของน้ำที่ท่วม พ.ศ.2554 จากฟังก์ชั่นความเสียหายของบ้านเรือนฯ เกาะกลุ่มอยู่ในย่านพื้นที่ริมแม่น้ำยม คลองบางแก้ว และพื้นที่ลุ่มทางตอนเหนือ ในเขตตำบลชุมแสงสงคราม ท่านางงาม และบางระกำ และ 3. ระดับความผิดพลาดของการทำนายมูลค่าความเสียหายของบ้านเรือนที่ถูกน้ำท่วม มีน้อยเกาะกลุ่มอยู่ในย่านพื้นที่ริมแม่น้ำยม คลองบางแก้ว และพื้นที่ลุ่มทางตอนเหนือ

 

            งานวิจัยเรื่อง การทำแผนที่แสดงผลลัพธ์การวิเคราะห์การถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์ ของ Mennis, Jeremy. (2006). ระบุว่าการวิเคราะห์การถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์ (GWR: Geographically Weighted Regression) เป็นเทคนิคทางสถิติเชิงพื้นที่แบบที่ให้ความสำคัญกับลักษณะเฉพาะของท้องถิ่น (Local Spatial Statistical Technique) ใช้สำหรับการค้นหาลักษณะเฉพาะที่ไม่เหมือนกันทั้งหมดของพื้นที่ วิธีการทั้งหลายก่อนหน้านี้ ที่ใช้เพื่อการทำแผนที่แสดงผลลัพธ์ที่ได้จากการวิเคราะห์การถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์นั้น ส่วนมากใช้ในการจำแนกแบบเท่าๆ กัน (Equal Step Classification) และการจัดรูปแบบของสีตามลำดับที่ไม่แสดงค่าระดับสี (Sequential No-Hue Colour Scheme) ในการทำแผนที่แสดงค่าพารามิเตอร์แต่ละตัว ซึ่งวิธีการแบบนี้อาจซ่อน (ไม่แสดง) ลักษณะเฉพาะเชิงพื้นที่ด้วยการแสดงการกระจายบนพื้นที่ไม่ครบถ้วน ไม่ว่าจะเป็นสัญลักษณ์ ขนาด และความสำคัญของตัวแปรแต่ละตัวที่มีอิทธิพลต่อตัวแปรตาม สำหรับการปรับปรุงการทำแผนที่แสดงผลลัพธ์จากการวิเคราะห์การถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักทางภูมิศาสตร์ จะถูกนำมาแสดงโดยใช้การวิเคราะห์กรณีศึกษาความหนาแน่นของประชากรที่มีความสัมพันธ์กับค่ามัธยฐานของราคาบ้านในเมืองฟิลาเดลเฟีย รัฐเพนซิลวาเนีย สหรัฐอเมริกา ด้วยการกระจายข้อมูลไปตามลักษณะเฉพาะของพื้นที่ ปรับค่าของสีที่แสดงบนแผนที่ และจัดทำแผนที่แสดงสัญลักษณ์ด้วยสีตามความแปรปรวนร่วมของค่าต่างๆ